搞永磁電機的同學們大概都體驗過永磁電機的一種特有現象，就是當一臺永磁電機裝配完成后，用手盤車，會有“咯噔咯噔”的咔頓感覺，這就是齒槽轉矩在作祟。

1 齒槽轉矩的定義及產生原因

齒槽轉矩是永磁電機特有的一個概念，GB/T 2900.25-2008《電工術語旋轉電機》里有明確的定義，即：411-48-45 齒槽轉矩(cogging torque）——無供電的永磁電動機由于其轉子和定子有自行調整至磁阻最小位置的趨勢而產生的周期性轉矩。

從本質上講，齒槽轉矩是永磁體磁場與齒槽間作用力的切向分量。齒槽轉矩總是試圖將轉子定位在某一位置，因此齒槽轉矩又稱定位轉矩。齒槽轉矩與電樞電流無關，是定轉子相對位置的函數，與極槽配合及齒槽和磁極的結構尺寸等有很大關系。

說這些可能同學們不大好理解，老師通俗地給同學們解釋一下。老師曾在《核武器是個神馬鬼》中說到，任何系統都希望趨于一種低能態，即系統含有的能量越低，系統越穩定，這就是俗話說的“能坐著不站著，能躺著不坐著”，葛優躺之所以舒服，是因為那種姿勢使身體處于一種“低能態”。對于一臺永磁電機，當定轉子裝配完成后，氣隙中就儲存了一定的磁場能量，由于電樞開槽的原因，使得氣隙磁場的儲能與定轉子相對位置有關，在繞組不通電的情況下，轉子會自動停在一個特定的位置上，這個位置就是磁場儲能最低的位置，即系統處于低能態，此位置也是磁阻最小的位置，如果此時用手盤車，你會感覺比較“費勁”，也就是說必須要輸入一定的轉矩，在這個盤車轉矩下轉子開始轉動，那么盤車轉矩乘以扭轉的角度就是你輸入到電機里的能量，氣隙里的磁場儲能就會增加，使系統處于一種高能態，這是一種不穩定狀態，此時如果你松手停止盤車或繼續盤車至磁場儲能達到某一個臨界值時，轉子就會自動返回到原來的低能態位置或進入到下一個低能態位置。隨著轉子旋轉一周，磁場儲能會出現周期性變化，轉矩也會隨之發生周期變化，由此可見氣隙磁場儲能的大小與轉子的位置角有關，即磁場儲能是轉子位置角的函數。之所以會出現這種情況，都是因為電樞開有齒槽惹的禍，因此把這種轉矩稱為齒槽轉矩。根據虛位移理論，齒槽轉矩就是在繞組不通電的情況下氣隙磁場儲能對轉子位置角的偏導數。齒槽轉矩的方向總是向著磁能積變小的方向。

2 齒槽轉矩的危害

1. 齒槽轉矩會引起永磁電機的轉矩脈動，進而導致速度波動。

2. 轉矩脈動還會使電機產生振動和噪聲，當脈動轉矩的頻率與電樞電流諧振頻率一致時，會產生共振，勢必會放大齒槽轉矩的振動和噪聲。

3. 嚴重影響電機的定位精度和伺服性能，尤其在低速時影響更為嚴重。

4. 使得電機啟動困難，特別是對于永磁風力發電機，嚴重影響啟動風速。

3 齒槽轉矩的解析計算

隨著計算機技術的飛速發展，各種電磁仿真軟件功能極其強大，完全可以通過仿真準確地計算出齒槽轉矩。對于齒槽轉矩的仿真計算不做闡述，這里只給同學們說一說齒槽轉矩的解析計算，之所以講解析計算，倒不是因為解析計算比仿真計算更準確，而是因為解析法概念更加明晰，影響因素更加直觀。事實上解析計算由于忽略了一些次要因素，加之為了便于數學解算，進行了一些簡化，結果會存在一定的誤差，甚至無法解算出結果，但通過解析計算，使我們更加清楚齒槽轉矩與哪些因素或結構參數的有關，以便能夠更加精準地找到削弱齒槽轉矩的思路和有效方法。因此本條所講的內容不作為設計時的齒槽轉矩計算方法和計算結果，只是用于當仿真出現齒槽轉矩過大時，如何進行齒槽轉矩優化的理論指導。根據解析法得到優化方法后，具體的優化結果，還是要采用仿真計算來得到。鑒于這一段會用到大量的數學知識，老師知道一提數學同學們就懵圈，因此數學差的同學可以直接跳過數學推導部分，只看本條最后的總結即可。

如前所述，齒槽轉矩表達式(電機內部的磁共能W相對于位置角α的偏導數)：

                              (1)

磁場能量可以近似認為是氣隙和永磁體中的能量：

               (2)

B_r2 (θ)的傅里葉分解：

                (3)

的傅里葉分解：

           (4)

將式(3)、(4)代入式(2)、(1)，并考慮到三角函數的正交性，當兩個正弦或余弦函數的頻率不相等時，它們的乘積在2π范圍內積分均為0，這樣就只剩下了使nz/2p為整數的項，整理后齒槽轉矩表達式：

       (5)

式中：B_r(θ)——永磁體剩磁沿圓周方向的分布；g(θ，α)——磁極中心線與齒中心線夾角為α時的有效氣隙長度沿圓周反向的分布；h_m——永磁體充磁方向長度；L_Fe——電樞鐵心長度；α——磁極中心線與齒中心線夾角；P——極對數；z——槽數；R₁——電樞外徑；R₂——定子軛內徑；n——使nz/2p為整數的正數。

以上分析可得出以下結論：

1）齒槽轉矩的大小與永磁體剩磁及氣隙磁導波的傅立葉變換系數B_rn、G_n密切相關，而這兩個系數與磁極的結構、槽型（特別是槽口）尺寸、極槽的分布、極弧系數、氣隙結構等結構參數以及齒槽轉矩的節次密切相關。

2）齒槽轉矩的波動頻率（節次）與極槽配合密切相關。

3）只有當nz/2p為整數的B_rn、G_n對齒槽轉矩起作用，其余的系數不產生齒槽轉矩。對此多解釋一下，老師曾在《電機定轉子極數不同轉矩會怎樣》里講過，只有當定轉子極數相同時才產生轉矩，極數不同轉矩恒等于0！極數相等時，如果定轉子磁場保持相對靜止，則產生恒定轉矩；如果定轉子磁場有相對運動，則產生脈動轉矩。極數為2p的永磁磁極會產生極數為2kp的一系列基波和諧波，而槽數為z的電樞會產生極數為nz的一系列的諧波磁阻極數，要想產生轉矩，只有2kp=nz，即nz/2p為整數時產生齒槽轉矩。

4 齒槽轉矩的削弱方法

鑒于齒槽轉矩的大小與G_n、B_rn及節次有密切關系，因此抑制齒槽轉矩就應該從這三個方面采取措施。

4.1 改變電樞參數

改變電樞參數能改變對齒槽轉矩起主要作用的G_n的幅值，進而削弱齒槽轉矩。這類方法主要包括：改變槽口寬度、改變齒的形狀、不等槽口寬、斜槽、在齒上開輔助槽等。采用斜槽或斜極是削弱齒槽轉矩最常見的方法，也是最有效、最方便的手段，其原理是相當于把齒槽均勻分布在整個電樞表面，因此就相當于沒有開齒槽，當然也就沒有了齒槽轉矩。理論上傾斜一個齒矩可以完全消除齒槽轉矩，但實際上由于加工精度、端部影響等因素仍不能完全消除。其它方法，只要通過合理的設計對齒槽轉矩的削弱效果同樣非常顯著，不再贅述。

4.2 改變磁極參數

改變磁極參數的方法是通過改變對齒槽轉矩起作用的B_rn的幅值，達到削弱齒槽轉矩的目的。這類方法有：改變磁極的極弧系數、采用不等厚永磁體、磁極偏移、斜極、磁極分段、不等極弧系數組合和采用不等極弧系數等。理論和實踐均表明，當永磁磁極寬度為整數個定子齒距時可有效抑制齒槽轉矩。其它方法可參照專業書籍予以合理設計，不再贅述。

4.3 合理選擇槽數和極數

極槽配合的選擇是永磁電機設計的重要內容，該方法的目的在于通過合理選擇電樞槽數和極數，改變對齒槽轉矩起主要作用的G_n的次數和大小，從而削弱齒槽轉矩。齒槽轉矩的節次越高，G_n越小，齒槽轉矩幅值也越小。

以上是從方向上指出了削弱齒槽轉矩所采取的技術途徑，具體設計時應該結合具體項目采取相應的具體方法，如前所述，解析法只是一種理論上的指導，采取具體方法后的效果還需要仿真計算驗證。

5 理想與非理想齒槽轉矩

上述的分析是針對理想情況進行的。實際上，齒槽轉矩分為理想齒槽轉矩和非理想齒槽轉矩，前者是在理想磁路情況下產生的力矩，后者是由于制造或材料偏差引起磁路不對稱導致的力矩。二者均對電機產生負面作用。

（1）定子缺陷產生的齒槽轉矩

定子缺陷包括鐵心偏心、橢圓或硅鋼片材料特性不一致等。定子缺陷的存在，必然影響到氣隙磁導的諧波成分，除了理想的 Z 及其倍數次分量外，還會出現其它次數的諧波成分。這些低次氣隙磁導分量與相同次數的永磁體磁動勢平方值相互作用就產生非理想齒槽轉矩。由于永磁體磁動勢平方值的最低次數為 2P，定子缺陷產生的典型齒槽轉矩的次數為每周 2P 及其倍數次。

（2）轉子缺陷產生的齒槽轉矩

轉子缺陷主要由磁鋼性能離散引起。磁鋼性能離散時，各磁極的磁動勢呈不對稱分布，使得永磁體磁動勢平方值的諧波成分發生變化，除了理想的P 及其倍數次分量外，還會出現其它次的諧波成分。存在相同次數的永磁體磁動勢平方值與氣隙磁導分量時就會產生非理想齒槽轉矩。由于氣隙磁導的最低次數為 Z，轉子缺陷通常產生 Z 及其倍數次的齒槽轉矩。

比如很多同學發現，具體設計時，通過仿真方法已經對齒槽轉矩進行了優化，但是做出來的實物齒槽轉矩的次數與理論不一致，數值也比仿真大了很多倍。排除有限元仿真的準確性后，基本可以判斷是由工藝、材料造成的空間磁場不一致性導致的非理想齒槽轉矩。

通常，定、轉子缺陷同時存在，齒槽轉矩中同時存在理想成分、定子缺陷引起的非理想成分和轉子缺陷引起的非理想成分，而非理想次數的齒槽轉矩可通過設計得到一定的抑制，但更重要的是要從制造和材料方面采取措施。由于齒槽轉矩產生的原因是多方面的，無論采取怎樣的措施，對于有槽的永磁電機，其齒槽轉矩只能抑制到一定的程度，從根本上徹底消除是很困難的。