寫在前面

        首先應該明確，穩定性分析的對象是動力學系統。人們需要知道某一動態變化的系統在給定條件下的行為（如不同外界激勵/干擾、不同初始狀態、自身參數/條件變化時）是否能夠保持在某一范圍內。否則，可能會出現系統嚴重震蕩、‘跑飛’或者‘失控’等一系列不穩定行為。如圖1所示，這些動力學系統既可以是被控對象本身（無控制輸入，受到假想外界擾動時，是否能夠回到原來的平衡位置），可以是包含被控對象和控制算法的整個被控系統（控制輸出的動態是否能夠趨近預期軌跡），也可以是所設計的單個參數辨識/觀測器模塊（辨識/觀測值是否能夠趨近實際值）。

        圖1.穩定性分析的對象（被控對象Plant、辨識/觀測模塊、整個被控系統）

        其次應該注意到，取決于具體應用場景，穩定性分析既可以圍繞動力學系統的某個平衡點/吸引子展開（即狀態軌跡或者微分方程的解的軌跡相對于某個平衡點/吸引子的空間位置），也可以圍繞動力學系統中的變量/信號或者某類動態增益是否有界，是否會以某種速度（指數還是漸進方式）收斂于某個給定區域展開。穩定性分析得到的結果是和控制系統所能達到的性能是密切相關的，甚至可以用穩定性分析倒推控制算法的設計。如在控制算法手記—什么讓控制算法復雜化？所述：“如果能夠保證某一被控系統是全局指數穩定的（Globallyexponentiallystable），那么不論系統初始狀態如何，系統控制誤差（或者其他變量）能在相當短時間內減小為零，并能夠長期保持在零；如果只能保證某一被控系統是局部漸近穩定（Locallyasymptoticallystable），那么在一個較窄的工作范圍內，系統的控制誤差隨著時間增長慢慢減小到零；如果無法保證系統指數/漸近穩定性，只能保證輸入輸出有界（BoundedInputBoundedOutput），那么只能預期，系統控制誤差會在收斂在某一范圍內；從這個意義上來說，從穩定性展開的分析，能夠清楚定義控制系統所能達到的性能上限，并以此為基礎能夠合理地設計控制器?！弊詈螅刂扑惴K（如參數辨識、觀測器等）的引入使得整個被控系統的動力學行為豐富起來（可能會體現出非線性系統的典型動力學行為），系統失穩風險大大增加。因此，在先進控制算法（無論是基于模型還是數據驅動）的實施過程中，不應忽視穩定性在控制算法設計和控制系統分析中的基礎性意義，輕視以各種定理為基礎的穩定性設計和證明方法，認為只是沒用的數學公式和定理。同時，也不能照搬各種穩定性設計方法，應該在深入了解被控系統的基礎上，通過合理的問題抽象和歸類，有針對性地設計控制算法和分析被控系統。

        穩定性定義及分析方法

        對于初步學習先進控制算法的工程師來說，一個主要的障礙在于各種眼花繚亂的穩定性定義和分析方法（如傳遞函數/線性狀態空間模型下的穩定性、自治/非自治非線性系統的穩定性），使得初學者很快淹沒在相關的數學式子和定理中，無法理解這些概念的實際物理意義，更談不上將這些概念有效地在實際中應用。應該注意到，各種穩定性的定義和分析方法是建立在‘動力學系統所體現出來的動力學行為’以及’描述這些動力學行為的動力學模型’的基礎上。從這個意義上來說，先學習系統動力學建模和分析對于掌握各種穩定性概念是十分有益的。實際上，各種穩定性定義和分析一般都基于所關心的動力學系統某種給定形式的動力學模型，該模型恰當地描述了待分析系統的動力學行為和所處狀態（初始條件、有無外界干擾/噪聲、有無控制輸入、控制輸入是狀態變量還是系統輸出的函數、系統參數是否隨時間變化、有無未建模動態/不確定性等）。例如：

• 經典控制理論中的傳遞函數模型，即描述了初始條件為零時，單輸入/單輸出、線性時不變系統的系統輸出/輸入（即動態增益）的動力學行為。此時，穩定性定義主要聚焦于該增益是否會發散或者無窮大；由此，相應的穩定性分析的角度則從傳遞函數特征多項式的解是否有正實部展開（即是否有不穩定極點，出現不穩定極點時，動態增益會出現指數增長項）；相應的穩定性判據則從代數（Routh判據，根據多項式系數判斷根的位置）、復平面（奈奎斯特判據）或者根軌跡（Root-locus）等角度展開；

• 線性系統中的狀態空間模型則描述了線性（定常）條件下，控制輸入、系統狀態變量、系統輸出（可以表示為狀態變量的線性函數）之間的動力學行為，著眼于狀態變量（即系統中獨立變化的動態變量）的動態行為。此時，穩定性定義則從狀態軌跡（即狀態變量的空間軌跡）相對于系統平衡點（即原點）的相對空間位置展開，該狀態軌跡是否收斂于原點；由此，穩定性分析的角度則轉變成系統矩陣是否具有正特征值（即是否有不穩定極點，出現不穩定極點時，狀態轉移矩陣/狀態變量將會出現指數增長項）；相應的穩定性判據則直接依據系統矩陣的特征值分布展開。

• 魯棒控制（RobustControl）中的傳遞函數模型/狀態空間模型則著重描述非理想因素（如外界干擾、參數/模型不確定性、未建模動態）對系統動力學行為的影響。此時，魯棒穩定性（RobustStability）則主要定義了當這些非理想因素達到什么程度或者幅度（程度/幅度都是不嚴謹的說法，一般采用范數/Norm進行描述，這里使用程度/幅度為保證解釋性），系統失去穩定性；由此，魯棒穩定性分析的角度則主要從非理想因素的影響程度展開；相應的穩定性判斷依據則依托于小增益定理（small-gaintheorem）；

• 非線性系統（Nonlinearsystem）的動力學行為則豐富得多（如多個孤立的平衡點/吸引子，對初始條件敏感（蝴蝶效應，參見封面圖）、極限環振蕩、有限逃逸時間、混沌/分叉等），因此，穩定性定義和分析最為復雜多樣，如圖2所示（僅列出了常見的穩定性概念，這些穩定性概念可以看成線性定常系統中穩定性概念的泛化）。非線性動態系統模型采用一般形式的微分方程描述，難以通過解析方式得到狀態軌跡/系統輸出（小部分非線性系統可以通過在工作點附近做線性近似，轉化為線性定常系統，然后借用線性系統的穩定性分析方法進行穩定性分析），因此多通過構造函數（即李雅普諾夫Lyaponov函數）間接判斷狀態軌跡的情況（即不必求解微分方程，就可以判斷解的情況/系統動力學行為）。由此，非線性系統穩定性分析的角度則主要從構造合適的Lyaponov函數，并分析Lyaponov函數的性質展開；相應的穩定性判斷依據則主要分析構造的Lyaponov函數是否滿足給定的數學性質。

        圖2.非線性系統復雜多變的穩定性

        值得注意的是，圖2中的各種穩定性在一定條件下可以互相轉化：如果控制輸入u為狀態變量的函數（狀態反饋），則有控制輸入u的穩定性可以轉化為無控制輸入的穩定性；如果干擾項g具有和標稱系統同樣的平衡點，則魯棒穩定性分析可以借用無控制輸入的穩定性分析；輸入-狀態穩定性的分析可以為輸入-輸出穩定性分析奠定基礎。

        當將這些穩定性概念運用到控制算法設計中，模型中的狀態變量或者系統輸出可以是控制誤差或者辨識/觀測誤差等。因此，穩定性分析應該基于對被控系統動力學行為深刻認識和理解的基礎上展開：首先根據分析目的和應用場景確定要分析的是什么對象（參考圖1），這種對象又具有什么特征的動力學行為表現和模型描述形式，對應的是那種類型的穩定性（參考圖2），然后再有針對性地利用相關數學方法/定理去進行具體分析和設計。將穩定性分析運用到控制算法設計中去穩定性分析主要驗證所關心的動力學系統的動力學行為是否能夠保持在一定范圍內（如狀態軌跡之于平衡點的位置、系統輸出/輸入增益有界等）；而‘控制算法’本質是一種人為設計的‘動力學系統’。

        人們設計這種動力學系統，目的在于和‘被控對象’這一‘動力學系統’相互作用后，包含控制算法的‘整個被控系統’的‘動力學行為’符合目標性能要求(參見控制算法手記-先學習系統動力學建模和分析)，這些目標性能首先要保證的是穩定性。從這個意義上來說，穩定性分析是控制算法設計的題中之義。更為重要的是，對于一些先進控制算法來說（如自適應控制算法、滑膜控制、基于觀測器的控制系統等），被控系統的動力學行為更為復雜，整個控制系統的穩定性很大程度上取決于控制算法參數的選取和設計，控制算法的設計更是主要基于穩定性分析和Lyaponov函數的構造，出現了大量以Lyaponov為基礎的控制算法設計方法。因此，將穩定性分析的概念靈活運用到控制算法的設計就顯得格外重要了。

圖3.將穩定性分析運用到參數辨識算法和控制器設計中去

        例如，對于間接自適應控制系統來說（參考圖3），整個控制系統一般由兩個動態系統組成，一個參數辨識動態（即辨識出來的參數是否逐步收斂到真實值），另外一個是由控制器和被控對象組成的被控系統（即控制誤差是否逐步減小到零），兩者都依賴于系統輸出進行在線更新（一般反饋回路動態快于參數辨識動態）。由于參數辨識動態和控制輸入，使得整個被控系統表現為非線性（參數辨識算法）、時變（參數實時辨識/更新）系統，加上模型不確定性，很有可能出現參數辨識結果發散以及由此導致的控制誤差無窮大的情況。因此，自適應控制一般通過設計Lyaponov函數以及穩定性分析使得控制誤差和參數辨識誤差均有界：Lyaponov函數中的控制誤差項的導數一般是（控制誤差、控制輸入、狀態變量以及辨識參數誤差）的函數，通過設計辨識參數更新率，消除Lyaponov函數導數項中的參數辨識誤差項，且使得Lyaponov函數半負定，只依賴于控制誤差。

        總結

        從‘動力學系統所體現出來的動力學行為’以及’描述這些動力學行為的動力學模型’的角度理解穩定性，對于正確理解各種穩定性概念、分析和設計方法、以及在先進控制算法和控制系統設計中靈活運用這些概念是至關重要的。在學習和運用穩定性分析的相關方法時，首先還是要從系統動力學的角度分析自己的被控對象，然后再有針對性的深入到具體理論推導和穩定性分析中去，避免陷入‘學了一大推概念，但感覺對現實問題無所助益，最后覺得理論分析無用，解決不了實際問題’的尷尬現狀。