控制實踐和控制理論的脫節(jié)，除了理論研究和實踐的導(dǎo)向不同，一個很重要的原因在于缺少溝通語言，即缺少對現(xiàn)實被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述(也即模型)。如圖1(a) 所示，一方面，控制理論研究者們直接從數(shù)學(xué)式子(一般為微分方程)出發(fā)，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)和證明，給出數(shù)學(xué)上的系統(tǒng)性質(zhì)(如穩(wěn)定域、可觀可控等)以及理論上的控制率，缺少對數(shù)學(xué)式子如何得來、式子能在多少程度上描述現(xiàn)實系統(tǒng)，式子中每一個數(shù)學(xué)變量如何與現(xiàn)實被控系統(tǒng)中的物理量相關(guān)聯(lián)、這些數(shù)學(xué)變量是否可以實時準(zhǔn)確獲知、運算這些式子的所需要的計算資源等現(xiàn)實因素的關(guān)注;另一方面，工程師面對的是一個個具體的被控系統(tǒng)(完成特定工作/工藝過程)，需要處理工藝邏輯、信號采集/處理、硬件配置、軟件編程實現(xiàn)等問題，且面臨著現(xiàn)場調(diào)試壓力，自然無暇也無力深入思考自己的被控系統(tǒng)到底如何用數(shù)學(xué)語言描述，本質(zhì)歸類為哪一類問題此類的話題了。

　　控制實踐和控制理論之間缺少可以溝通的語言，使得一方面現(xiàn)實中亟待解決的控制難題高度依賴PID調(diào)試經(jīng)驗和手動干預(yù)，無法實現(xiàn)良好的自動化，更不用說數(shù)字化和智能化了;另一方面，大量在數(shù)學(xué)上證明嚴(yán)謹(jǐn)、優(yōu)美的控制理論，卻不能根據(jù)實際情況有效改進，從而在工業(yè)界有效落地推廣。建模作為建立這一溝通渠道的有效方法， 卻面臨著失語的境地，使作者深感遺憾。

　　即使對于想要擺脫機理模型依賴的數(shù)據(jù)驅(qū)動控制算法來說，如果要在現(xiàn)實被控系統(tǒng)真正落地應(yīng)用，建立合乎需要的數(shù)學(xué)描述(不要求精確，但應(yīng)該能大概描述出系統(tǒng)主要動態(tài)特性)仍是必要的，這有助于控制算法的設(shè)計和調(diào)試，避免不必要的試錯時間和成本。比如對于PID控制器(本質(zhì)為數(shù)據(jù)驅(qū)動控制器)來說，如果系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)(比如電機控制中的電流環(huán)、速度環(huán)等)，通常選用PI就足夠了;如果對象為二階環(huán)節(jié)(如位置控制系統(tǒng))， 則通常需要考慮使用微分功能，以改善相位滯后，增大系統(tǒng)阻尼系數(shù)。

　　正確認(rèn)識和認(rèn)真對待建模在控制算法中的作用顯得尤為重要(圖1b)，也格外緊迫，尤其在制造業(yè)升級轉(zhuǎn)型和強調(diào)源頭自主創(chuàng)新的今天。“好的控制算法應(yīng)該是強大物理概念和數(shù)學(xué)工具的完美結(jié)合，即在對實際物理世界中的問題深刻理解的基礎(chǔ)上，找到合適的數(shù)學(xué)工具去描述和解決。具體到控制算法的設(shè)計，系統(tǒng)動力學(xué)分析和建模作為聯(lián)結(jié)物理世界和數(shù)學(xué)世界的工具顯得尤為重要。”

　　圖 1 控制算法，控制理論、控制實踐的關(guān)系

　　模型是啥?

　　首先應(yīng)該明確模型是為定量分析、正確描述被控系統(tǒng)從而設(shè)計合適的控制算法而存在的，這里面模型指對現(xiàn)實被控系統(tǒng)主要問題的數(shù)學(xué)描述。實際中，很多人會認(rèn)為數(shù)學(xué)模型是不必要的，會把問題復(fù)雜化，直接在現(xiàn)場根據(jù)PID相關(guān)調(diào)參經(jīng)驗調(diào)試機器不就好了嗎，為什么要牽涉一大堆數(shù)學(xué)公式。然而，即使對于PID現(xiàn)場調(diào)試，適當(dāng)?shù)哪Ｐ鸵约耙源藶榛A(chǔ)的分析仍是必要的：

　　? 你總要知道能控制的部分(控制輸入)是如何作用于系統(tǒng)并影響到系統(tǒng)輸出吧，是起正作用還是反作用，是立馬起作用還是過段時間起作用，還是慢慢起作用，如圖2所示的幾種常見系統(tǒng)的階躍曲線(為方便對比，進行了歸一化處理);

　　? 你總要知道你所面對的機器的工作過程/工況吧， 這些工況下哪些參數(shù)/條件會改變，變化的幅度和快慢，以及是如何影響你的系統(tǒng);

　　? 你總要知道你的控制目標(biāo)吧，精度是多少，動態(tài)響應(yīng)/帶寬是多少，允許的超調(diào)量。

　　以上這些，需要做某種定量性描述，并作一定理論分析，才能幫助你找到方向進行調(diào)試。比如，對于圖2所示的幾種典型階躍響應(yīng)曲線，借助于傳遞函數(shù)模型便可以分析、確定系統(tǒng)類型(如時間常數(shù)/響應(yīng)快慢，是否有延遲，延遲/時間常數(shù)之比，是否欠阻尼，是否是最小相位系統(tǒng))等信息，這些信息的確定有助于選擇合適的PID 控制器設(shè)計策略，是PID自動整定(Auto-tuning)的基礎(chǔ)。實際上，取決于所要描述問題的類型，模型可以表現(xiàn)為多種形式。如果是動態(tài)過程，可以用頻域傳遞函數(shù)描述也可以用時域狀態(tài)空間描述，可以在連續(xù)域描述，也可以在離散域描述;如果是靜態(tài)非線性關(guān)系，可以用多項式也可以用特殊函數(shù)，甚至模糊、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等描述;或者兩者結(jié)合形成的Hammerstein-Wiener模型。

圖 2 典型階躍響應(yīng)曲線以及對應(yīng)傳遞函數(shù)模（延遲環(huán)節(jié)多見于過程控制系統(tǒng)）

　　如何建模?

　　在控制算法設(shè)計的語境中，建模是以控制算法設(shè)計/實施為導(dǎo)向的，不是要把整個系統(tǒng)都進行建模，而對和控制性能最相關(guān)、能夠代表當(dāng)前被控系統(tǒng)主要問題的部分進行建模。

　　比如對于機器人控制系統(tǒng)來說，如果是一些低速， 精度要求不高的場合，顯然沒有必要涉及動力學(xué)建模，只需要知道運動學(xué)正向和逆向模型即可。如果涉及高速、高精度場合，那么考慮動力學(xué)模型，深入到關(guān)節(jié)柔性甚至對摩檫力準(zhǔn)確建模就是必須的，因為關(guān)節(jié)柔性、摩檫力決定了在這些場合下的機器人控制性能。

　　因此，建模的第一原則：確定建模目的以及建模涉及的范圍(描述的主要問題)。在此基礎(chǔ)上，建模的第二原則：模型結(jié)構(gòu)應(yīng)該和所要描述對象的結(jié)構(gòu)特點相匹配， 也就是模型能夠直觀、顯性地描述問題，最好能夠直接從模型中的數(shù)學(xué)式子中分析問題的本質(zhì)。對于被控系統(tǒng)來說，各種不同類型的問題(如被控對象特性、反饋噪聲、外部干擾等)都可能會主導(dǎo)控制系統(tǒng)性能的好壞。對不同類型的問題描述，勢必要采取不同的模型形式、結(jié)構(gòu)。例如：如果被控對象是定常線性動態(tài)系統(tǒng)，且只關(guān)心輸入輸出之間的聯(lián)系，那么采用基于Laplace變換的頻域傳遞函數(shù)就是合適的;如果還牽涉到其他關(guān)聯(lián)狀態(tài)變量的觀測或反饋，那么可以考慮采用狀態(tài)空間表示形式;如果被控對象是非線性動態(tài)系統(tǒng)，則一般考慮基于狀態(tài)變量的時域微分方程;

　　? 如果被控對象存在參數(shù)變化，需要用到參數(shù)辨識， 則根據(jù)參數(shù)變化快慢/規(guī)律，是否有界以及與輸入/輸出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系等信息，可以將參數(shù)解析模型寫成不同的形式。比如，對于機器人控制系統(tǒng)中的參數(shù)辨識，需要將一些待辨識參數(shù)進行組合形成待辨識參數(shù)向量，為避免對加速度信息的使用，需要對參數(shù)解析模型做些特別改進(參考Slotine and Li's Approach);

　　? 存在高頻未建模動態(tài)、不確定性的情況下，如果能夠知道這些未知信息的結(jié)構(gòu)或者如何影響系統(tǒng)，也應(yīng)該通過數(shù)學(xué)式子表達出來(加性/乘性不確定，是否有界，是否互相獨立等);

　　? 如果無法準(zhǔn)確獲知被控對象的機理，無法從第一原理出發(fā)通過理論推導(dǎo)建立準(zhǔn)確機理模型，只能建立數(shù)據(jù)模型，那么也應(yīng)顯性表示輸入-輸出的關(guān)系，比如當(dāng)前時刻的輸出和之前多少時刻的輸入相關(guān)聯(lián)，干擾/噪聲是通過什么通道進入系統(tǒng)等(參考無模型自適應(yīng)控制的相關(guān)做法);

　　? 如果是對外部干擾進行描述，如非線性摩檫力、力矩波動等，則可以考慮多項式擬合或者諧波疊加等形式; 如果還需要描述外部干擾動態(tài)或與控制系統(tǒng)狀態(tài)變量之間的關(guān)聯(lián)，則可以考慮狀態(tài)空間表示形式，對原有動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)變量進行擴展;

　　? 如果反饋噪聲是工頻干擾/逆變器干擾引起，可以用諧波疊加進行描述，如果是隨機噪聲，則可以考慮白噪聲等進行描述。

　　對以上問題進行恰當(dāng)?shù)拿枋觯兄趶谋举|(zhì)上分析問題，更準(zhǔn)確匹配已有的控制算法(比如，控制算法中常用到的卡爾曼濾波器假設(shè)噪聲是白噪聲，對于周期噪聲干擾就未必合適，需要經(jīng)過改造或者選用其他濾波方法)， 并最大程度地組織已知的信息，從而為設(shè)計高效的控制算法奠定基礎(chǔ)(控制算法對已知信息利用得越充分，達到的控制效果越好，比如對于自適應(yīng)控制等算法，知道參數(shù)上下界，可以保證辨識參數(shù)有界并改善瞬態(tài)性能;對于魯棒控制，如果知道不確定性的結(jié)構(gòu)信息，可以降低控制算法保守性)。

　　在選擇合適模型結(jié)構(gòu)/形式的基礎(chǔ)上，建模的第個三原則是：模型應(yīng)該兼顧精確性和實時運算性能。在控制算法設(shè)計的語境中，根據(jù)需要，模型的信息是需要用到控制算法的不同模塊中，如圖3所示。模型的信息(模型一般需要經(jīng)過某種形式轉(zhuǎn)換后才能用到控制系統(tǒng)中，因此圖中用需要表示隱性/間接用到模型信息的情況)可以用在輸入整形/軌跡規(guī)劃，前饋補償組成的外環(huán)前向通道上，也可以用在反饋控制器上(如模型預(yù)測、自適應(yīng)、魯棒/滑膜控制)，或者內(nèi)環(huán)的觀測器通道上(如狀態(tài)/干擾估計以及參數(shù)辨識)。這些模塊或多或少需要對模型進行實時運算。如果模型太過復(fù)雜，盡管能夠相對精確的描述問題，但也由此增大了實時運算量(需要更高性能的控制器或者相對較長的運算周期)，同時也會導(dǎo)致對應(yīng)的控制器階數(shù)變高，增加了控制系統(tǒng)分析、設(shè)計的難度。因此，在滿足控制性能要求的前提下，應(yīng)該在模型精確性和實時運算中做折衷處理。

圖 3 模型信息用于控制算法設(shè)計

　　最后，模型在真正用于控制系統(tǒng)前，建模的第四個原則是：模型必須經(jīng)過某種形式的驗證/實際測試，以確保模型的正確性和準(zhǔn)確性(正確性要求模型能夠反映問題的主要變化規(guī)律，準(zhǔn)確性則要求模型和實際之間的誤差相對較小)。

　　總結(jié)

　　建立被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，分析其本質(zhì)特性，并建立起物理直覺，在控制算法設(shè)計及調(diào)試階段都尤為重要：

　　? 在控制算法設(shè)計階段，在認(rèn)真分析被控系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過建模不僅能夠科學(xué)分析自己面臨的真正問題，而且擁有了進入控制理論大廈的鑰匙，在項目初期便能選擇大體正確的方向以及合適的控制算法類型，并從中選擇合適的控制方法并進行合乎需要的改造、組合乃至創(chuàng)新、超越。這一從物理世界到數(shù)學(xué)世界的抽象是必要的，也是真正從本質(zhì)上確切認(rèn)識事物，進行源頭創(chuàng)新的關(guān)鍵;

　　? 在控制算法調(diào)試階段，有了對模型的深入分析和物理直覺，可以幫助工程師迅速判斷調(diào)試中出現(xiàn)的問題并分析可能的原因，并由此提供正確的調(diào)試方向或者算法改進方法，避免無謂的試錯，縮短項目周期。這一從數(shù)學(xué)世界到物理世界的回歸也是必要的，可以幫助理論創(chuàng)新真正的落地，并在實踐中不斷完善。

【作者簡介】李磊，浙江大學(xué)機電博士，佐治亞理工學(xué)院訪問學(xué)者(2016-2017)，目前從事自動化控制算法研發(fā)工作。博士期間在IEEE TMech、TIE等期刊發(fā)表多篇文章，目前擔(dān)任TMech,IJIRA(International Journal of Intelligent Robotics and Applications)等機電國際期刊審稿人。